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Université de Picardie-Jules Verne
Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée 33 Rue Saint-Leu,80039 Amiens Séminaire de théorie des groupes |
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Université de Picardie-Jules Verne
Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée 33 Rue Saint-Leu,80039 Amiens Séminaire de théorie des groupes |
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Résumé: On se donne une algèbre de Lie simple g et une représentation
irréductible V de g. Il s'agira dans un premier temps de montrer comment
la théorie des bases cristallines permet d'associer à V une marche
aléatoire M dans le réseau des poids de g. Cette marche peut être vue
comme une généralisation du problème des urnes qui correspond à la
représentation de dimension n de sl(n).
On verra ensuite que, lorsque V est une représentation minuscule, la loi
de la chaîne de Markov correspondant la restriction de M à la chambre de
Weyl peut être totalement explicitée. Il s'agit d'un travail en
collaboration avec E. Lesigne et M. Peigné.
Sefi Ladkani (IHES): séance reportée au 15 décembre
Brenner-Butler tilting and mutations
Abstract: We are going to discuss one of the most important
and fundamental problems by Brauer. Namely, we will
be looking at a block of a finite group and investigating
the numbers of irreducible ordinary and Brauer characters
of the block, once a specific defect group is given,
which has small order but no the other hypotheses on the block.
Abstract:
Brenner-Butler tilting can be seen as a local operation on algebras
inducing derived equivalence. We will indicate its connections with
quiver mutation and its utility in providing an algorithmic approach to
the question of derived equivalence. This will be done by investigating
its effects on three classes of algebras: endomorphism algebras of
cluster-tilting objects in Frobenius 2-Calabi-Yau (2-CY) categories; the
2-CY-tilted algebras, and in particular, cluster-tilted algebras; and
finally algebras of global dimension at most 2.
Exceptionnellement à 14h !
26 janvier
Pas de séance en raison du colloque
Groupes de Chevalley, groupes de réflexions, groupes de tresses
Abstract:
For a finite group $G$, Mackey functors and Tambara functors are regarded as
$G$-bivariant analogs of abelian groups and commutative rings.
As such, many naive algebraic properties concerning rings and groups have
been extended to these $G$-bivariant analogous notions.
In this talk, we introduce a $G$-bivariant analog of the group-ring
construction.
It generalizes the Dress construction, and also has some relation to the
Witt-Burnside construction.
As a byproduct, we also obtain a $G$-bivariant analog of the polynomial
ring.
23 février
Pas de séance
Résumé:
"L'objectif de l'exposé est de déterminer l'ordre de l'extension
1 -> P/[P,P] -> B/[P,P] -> W -> 1 en tant qu'élément de H^2(W,P/[P,P])
généralisant ainsi un résultat de Digne pour les groupes de Coxeter.
Dans le cas des groupes de réflexions complexes, le calcul repose sur la
détermination d'abélianisés de gros sous-groupes du groupe de tresses."
Exceptionnellement à 14h !
Abstract:Consider the Mackey functor assigning to a finite group G the Green ring
of finitely generated kG-modules where k is a field of characteristic p>0.
Thévenaz foresaw in 1988 that the class of primordial groups for this
functor is the family of k-Dress groups. In this talk we will see that this
is true for the subfunctor defined by the Green ring of finitely generated
kG-modules of trivial source.
Exceptionnellement le mardi!
Abstract:
An intuitive notion of the complexity of an algebra A (eg a group, ring, semigroup, etc) is its
rank, ie the minimal size of a generating set. However, if A is uncountable, then any generating
set has size |A|, so rank does not tell us anything. All is not lost though, since many other
properties of generation can be formulated to distinguish simpler algebras from more complicated
ones. Here are two.
Bergman's Property -- for any generating set U of A there is a natural number n such that any
element of A can be written as a product (etc) of at most n elements from U. (In other words,
the length function is bounded with respect to any generating set.)
Sierpinski rank -- this is defined to be the least integer n (if it exists) such that any
countable subset of A is contained in an n-generated subalgebra.
For example, the symmetric group on any infinite set satisfies Bergman's property, and has
Sierpinski rank 2. I'll discuss these concepts, and others, in the context of infinite
transformation semigroups and partition monoids.
Abstract:
There is a category of 'objective partial groups', which
provides a framework in which to prove existence and uniqueness of
'centric linking systems' associated with 'saturated fusion systems.'
Année 2009-2010:
Résumé:
Les systèmes de fusion saturés sont des axiomatisations de la
structure p-locale d'un groupe fini ou d'une algèbre de bloc. Carles
Broto, Ran Levi et Bob Oliver associent à un système de fusion saturé
sur un p-groupe fini S, un (S,S)-bi-ensemble caractéristique. Ces
bi-ensembles caractéristiques sont raffinés par Ragnarsson à des
idempotents caractéristiques dans l'anneau double de Burnside des
$(S,S)$-bi-ensembles à coefficients p-complétés.
Dans cet expose je présente un travail en collaboration avec Kari
Ragnarsson, qui donne une nouvelle vision des systèmes de fusion
saturés à travers les idempotents caractéristiques. Plus précisément,
nous allons voir que tout système de fusion saturé peut être
reconstruit à partir de son idempotent caractéristique. De plus, ces
derniers sont précisément les idempotents
dans l'anneau double de Burnside satisfaisant une certaine relation de
type réciprocité de Frobenius.
Donc nous obtenons une bijection entre les systèmes de fusion saturés
et les idempotents dans l'anneau double de Burnside satisfaisant cette
réciprocité de Frobenius.
Résumé : Une algèbre amassée A est en particulier
un anneau commutatif, munie d'une structure combinatoire
additionnelle : amas, variables d'amas, etc ...
Il est naturel de se demander si A peut être vue
comme l'anneau de Grothendieck d'une catégorie
tensorielle C, compatible en un certain sens avec
la structure amassée. J'expliquerai des exemples
de cette situation étudiés dans un travail récent commun
avec David Hernandez. Les catégories qui apparaissent sont
des catégories de représentations de dimension finie
d'algèbres affines quantiques.
transparents de l'exposé
Résumé: In the representation theory of finite groups, the theory of blocks
with abelian defect group seems to be the `simplest' case, in that the
control of global information by the normalizer of the defect group is
at its strongest. In this talk I will discuss some recent progress on
the famous conjecture of Broué, and some other recent work on
understanding the structure of blocks with abelian defect group.
transparents de l'exposé
Abstract:
Saturated fusion systems are categories satisfying important features of
fusion in finite groups. Many group-theoretical concepts and results have
been translated into the language of fusion systems, and give a starting
point for their investigation.
We will define minimal fusion systems in a way that every non-solvable
fusion system has a section which is minimal. As I will explain, minimal
fusion systems can be seen as a generalization of the so called N-groups.
These were first classified by Thompson, and his work set a pattern for
the classification of finite simple groups. I will report on the current
progress of a project, which aims to investigate minimal fusion systems
for arbitrary primes, and to classify minimal fusion systems over
$2$-groups.
Abstract:
We sketch a proof of Benson's Regularity Conjecture, that the
regularity of the mod-p cohomology of a finite group G is 0. An easy
consequence is the fact that the cohomology ring is generated in
degrees at most |G|-1.
First we will introduce the concept of Castelnuovo-Mumford regularity
from commutative algebra. The proof then uses classical techniques
from algebraic topology.
Résumé:
Cet exposé est basé sur deux travails récents. Le premier, en commun
avec Shengyong Pan, montre qu'une équivalence stable à la Morita
préserve la structure d'algèbre de la cohomologie de Hochschild
stable, généralisant des résultats de Pogorzaly et Xi. Le deuxième
travail avec Alexander Zimmermann a pour objectif de classifier les
algèbres de dimension finie à équivalence stable à la Morita près.
On montre que pour certaines classes d'algèbres symmétriques de type
docile, la classification à équivalences stables à la Morita près se
coincide avec la classification à équivalence dérivée près
transparents de l'exposé
Abstract: Using Ragnarsson and Stancu's work, we identify p-solvable
saturated fusion systems on a fixed finite p-group S as idempotents in
the p-localized double Burnside ring of S satisfying certain
properties. We'll list some questions worthy of further
investigation. This is a joint work with Kári Ragnarsson.
Résumé:
Étant donnés des groupes finis G et H, un (G,H)-bi-ensemble est un
ensemble fini U muni d'une action de G à gauche et d'une action de H à
droite. Les bi-ensembles agissent de manière naturelle sur les
représentations, avec comme prototypes les opérations habituelles
d'induction, restriction, inflation, déflation, et conjugaison. Si L
est une représentation d'un groupe fini G, on cherche quels sont les
(G,G)-bi-ensembles U qui stabilisent L. Le résultat principal affirme
que si U est minimal (dans un sens facile à définir), alors U est unique
à équivalence près. On obtient ainsi une théorie qui ressemble à celle
des vortex et sources. Différents exemples seront présentés.
Année 2008-2009:
Résumé:
Soit $k$ un anneau commutatif. Le centre gradué d'une catégorie
$k$-linéaire triangulée $(C,\Sigma)$ sur $k$ est un $k$-module gradué
ayant comme composante en degré n l'ensemble des transformations
naturelles $k$-linéaires de l'identité dans $\Sigma^n$ qui commutent au
signe près avec $\Sigma$: $\Sigma\phi = (-1)^n\phi\Sigma$.
Lorsque $k$ est un corps, et $A$ une algèbre auto-injective de dimension
finie
sur $k$, la catégorie stable des $A$-modules de type fini est une catégorie
triangulée ayant comme foncteur de décalage l'inverse de l'opérateur de
Heller.
Son centre gradué a été calculé par Kessar et Linckelmann dans le cas
des algèbres
d'arbres de Brauer (cas qui inclut les algèbres des $p$-groupes cycliques
en caractéristique $p$).
Le but de cet exposé est de décrire les propriétés du centre gradué de la
catégorie stable d'un $p$-groupe et de montrer que pour tout $p$-groupe $P$
de rang au moins $2$ et tout corps $k$ infini de caractéristique $p$, le
centre
gradué de la catégorie stable des $kP$-modules de dimension finie est de
dimension infinie en degrés impairs si $p$ est impair et en tout degré si
$p=2$. Ce travail est fait en collaboration avec Markus Linckelmann.
Résumé : L'espace des modules Alg_n des algèbres associatives unitaires de
dimension finie n est un objet "élémentaire" mais dont on connait très mal
la géométrie. Je rappellerai les résultats connus à son sujet et quelques
questions ouvertes. Ensuite, je donnerai la construction d'une fonction
multiplicative canoniquement attachée a une algèbre (que je ne sais
construire pour l'instant que sur la normalisation de Alg_n), appelée
"déterminant", ainsi que quelques applications de cette construction à la
topologie de l'espace des modules Alg_n.
29 octobre
Pas de séance
Résumé: En théorie des représentations modulaires des groupes finis,
un des grands problèmes est la détermination des matrices de
décomposition. Un des objets permettant d'obtenir des informations dans
ce sens est donné par la notion d'ensemble basique. Cependant, en
général, il n'est pas connu si un groupe possède ou non un ensemble
basique. Dans cet exposé, je présente un travail fait avec Olivier
Brunat (Ruhr Universität, Bochum), et dans lequel nous montrons
l'existence, pour toute caractéristique impaire, d'ensembles basiques
pour le groupe alterné. En fait, pour parvenir à ce résultat, nous
produisons un ensemble basique pour le groupe symétrique qui possède
certaines propriétés supplémentaires, lesquelles nous permettent de nous
ramener au groupe alterné. Ceci nous permet du coup d'obtenir certains
résultats sur les nombres de décomposition de ces groupes.
Résumé :
A la fin des années 80, Happel et Linkelmann ont construit,
indépendamment l'un de l'autre, une structure triangulée sur la
catégorie stable d'une algèbre symétrique de dimension finie sur un
corps. Rickard a ensuite montré que cette structure triangulée pouvait
s'obtenir comme quotient de la catégorie dérivée. Dans cette exposé, on
montrera comment cet exemple s'inscrit dans un cadre général tant au
niveau de la construction de la structure triangulée qu'au niveau de
l'obtention à partir de la catégorie dérivée.
Résumé:
Le probleme est de construire des arbres binaires de taille n qui soient éloignes vis-à-vis de
la
distance de rotation, ce qui équivaut à construire des expressions parenthésées à n variables
éloignées
vis-à-vis du déplacement de parenthèses par associativité, ou encore des triangulations d'un
n+2-gone
éloignées vis-a-vis de l'échange de diagonales. On presentera la magnifique solution de
Sleator-Tarjan-Thurston basée sur la géometrie hyperbolique, qui est optimale mais valable
seulement pour
n grand (non effectif), ainsi qu'une solution combinatoire récente basée sur la notion de
séparatrice
dans les associaèdres, qui est (pour le moment) non optimale, mais valable pour tout n.
Abstract: Let C be a small category and k a field. We consider the
category algebra kC and the classifying space BC. We are interested in
the Hochschild cohomology ring HH*(kC) and the ordinary cohomology ring
H*(BC, k). Our main result establishes a split surjection from HH*(kC)
to H*(BC,k), generalizing . As an application, we show there exist
finite-dimensional algebras whose Hochschild cohomology rings modulo
nilpotents are not finitely generated.
Abstract:
Garside groups are generalisations of the well-known Artin braid groups.
Basically, the class of Garside groups captures the fundamental
algebraic properties of braid groups and separates them from properties
arising from a specific geometrical or topological context. The most
fundamental characteristics is the existence of the greedy normal form.
I will start by recalling the greedy normal form for braids and by
explaining how this idea is abstractly formulated in the Garside group
setting. We will then look at some invariants of conjugacy classes
which were introduced to solve certain computational problems in Garside
groups.
In the second part of the talk, we will see that the theoretical
properties of these established invariants are in some sense
unsatisfactory. This will lead us to the definition of what appears to
be a more natural theoretical structure.
The presented results are joint work with Juan Gonzalez-Meneses.
Résumé:
Nous demontrons que l'integrale p-adique d' Igusa-Weil est aussi la
fonction generatrice du nombre de classes dans les groupes classiques.
Comme cas particulier nous retrouvons le resultat connu de Satake sur le
nombre de classes d'Hermite pour GLn(Z). A titre d'exemple nous traitons
le nombre de classes a droite de GSp6 .(Travail en commun avec
Fritz Grunewald).
Résumé : Le définition de Rouquier des familles de caractères,
définies par Lusztig pour les groupes de Weyl, a rendu possible la
généralisation de cette notion aux groupes de réflexions complexes
ou, plus précisément,
aux algèbres de Hecke cyclotomiques associées aux groupes de
réflexions complexes. On démontre que les familles de caractères ont
la propriété de semi-continuité et dépendent seulement d'une donnée
numérique du groupe, ses "hyperplans essentiels". Grâce a cette
propriété, on réussit à déterminer les familles de caractères de
toutes les algèbres de Hecke cyclotomiques de tous les groupes de
réflexions complexes.
Résumé: Nous décrivons une nouvelle présentation pour les groupes de
réflexions complexes de type $(e,e,r)$ et leurs groupes de tresses.
Un diagramme pour cette présentation est proposé. La présentation est
celle d'un monoïde qui se trouve fournir une structure de Garside.
Une étude fine de la combinatoire de cette structure conduit à la
décrire comme post-classique. (Travail en collaboration avec
Ruth Corran.)
Année 2007-2008:
14 novembre
Pas de séance
Résumé:
G. Lusztig a défini des q-analogues associés aux dimensions des
espaces de poids dans les représentations irréductibles d'une algèbre de
Lie. Ce sont des polynômes à coefficients entiers et positifs qui
interviennent dans de nombreux problèmes de théorie des représentations.
L'exposé consistera tout d'abord à rappeler la définition de ces polynômes
ainsi que quelques-unes de leurs propriétés. Dans une deuxième partie, on
verra qu'il est également possible de définir de tels q-analogues pour les
représentations typiques des super-algèbres gl(m,n) et spo(2n,M) ainsi que
pour les modules irréductibles tensoriels covariants de gl(m,n). Les
polynômes ainsi obtenus sont à coefficients entiers positifs lorsque
certaines conditions naturelles sont vérifiées. De plus, dans le cas des
gl(m,n) modules tensoriels covariants, ils admettent une description
combinatoire généralisant celle obtenue par Lascoux et Schützenberger pour
les q-analogues de Lusztig liés à gl(n).
Résumé :
Nous généralisons l'approche de F. Digne pour définir des
représentations fidèles "à la Krammer" des monoïdes d'Artin-Tits qui
apparaissent comme sous-monoïde des points fixes d'un monoïde
d'Artin-Tits de type simplement lacé.
En particulier, nous obtenons ainsi trois représentations fidèles pour
un monoïde (ou groupe) d'Artin-Tits de type Bn ; nous montrerons
qu'elles sont deux à deux inéquivalentes.
20 février
Pas de séance
Résumé:
Les espaces à murs sont des structures géométriques discrètes très
flexibles qui généralisent la géométrie des systèmes de Coxeter.
Si un groupe Γ agit "spécialement" sur un espace à murs, alors
Γ se plonge dans un groupe de Coxeter à angles droits. En
particulier Γ est linéaire (sur les entiers), résiduellement
fini, ses sous-groupes "quasi-convexes" sont fermés dans la topologie
profinie.
Je donnerai des critères explicites pour que l'action d'un groupe sur
un espace à murs soit virtuellement spéciale. Comme application, tout
groupe de Coxeter se plonge virtuellement dans un groupe de Coxeter à
angles droits. C'est aussi le cas pour tout réseau uniforme
hyperbolique réel arithmétique de type simple.
La liste des groupes virtuellement plongeables dans un groupe de
Coxeter à angles droits est déjà longue, mais pour le moment une
famille de groupes résiste encore et toujours à cette approche : les
groupes d'Artin (non à angles droits). Je discuterai brièvement
quelques tentatives dans cette direction.
(Travail en commun avec Dani Wise.)
Année 2006-2007:
13 décembre
Thèse d'A. Castella à Orsay (14h)
Résumé:
La catégorie F des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini k,
dite des représentations génériques des groupes linéaires sur k, joue un
rôle important dans l'étude cohomologique de ces groupes linéaires (avec les
travaux de Betley-Suslin, notamment). Les objets de longueur finie de la
catégorie F sont assez bien compris, grâce à la théorie des représentations,
mais sa structure globale reste très mystérieuse. Nous présenterons une
description conjecturale de la filtration de Krull de F, à l'aide de
nouvelles catégories, dites catégories de foncteurs en grassmanniennes.
Celles-ci nous permettront également de donner une propriété d'annulation
cohomologique nouvelle.
Résumé:
Soit G un groupe et K un corps. Un KG-module V admet une forme
bilineaire non degénérée invariante sous l'action de G ssi il est
auto-dual. Si V est simple, la forme est unique à automorphisme de
V près.
Question: Si B(KG)-mod est équivalente à B(KH)-mod pour des blocs de KG
et de KH cette équivalence de Morita envoie un module simple sur un
module simple. Qu'est-ce qu'il arrive à la forme, si elle existe?
Résumé: La propriété de treillis est fondamentale pour vérifier que le
monoïde de tresses dual d'un groupe de réflexions W est un monoïde de
Garside. Elle se ramène à la proposition suivante : si c est un élément
de Coxeter de W, et si l'on note R l'ensemble de toutes les réflexions
de W, alors l'intervalle [1,c] forme un treillis pour l'ordre partiel de
divisibilité relatif à la R-longueur. J'expliquerai les grandes lignes
de l'article de Brady-Watt (arXiv:math.CO/0501502) qui contient la
première démonstration générale de cette propriété (vérifiée dans un
premier temps au cas par cas). L'idée est de construire un complexe
simplicial sphérique X(c) dont les sommets sont les racines positives
d'un système de racines de W, et dont la structure simpliciale est
modelée sur celle de l'ensemble ordonné [1,c]. Les éléments de
l'intervalle [1,c] se voient alors comme des sous-complexes de X(c), et
on exhibe le p.g.c.d. de deux éléments en considérant l'intersection de
leurs complexes associés.
Année 2005-2006:
Année 2004-2005:
2 mars
Pas de séance en raison du colloque Algebraic Coding Theory
Année 2003-2004:
Année 2002-2003:
22 janvier
Pas de séance
19 février
Pas de séance
Année 2001-2002:
6 février
Pas de séance