Faculté de Mathématiques et d'Informatique Master Mention Mathématiques Spécialité Analyse Appliquée et Modélisation 2004-2005

La spécialité Analyse Appliquée et Modélisation a pour vocation de proposer aux étudiants une formation de haut niveau en mathématiques appliquées et applications des mathématiques. Elle vise à former des diplômés capables d'une part d'assurer un service pointu de veille technologique et d'autre part de mettre en oeuvre ou créer les outils mathématiques et algorithmiques les plus adaptés à des problèmes variés de modélisation et de simulation. Les compétences acquises auront trait à la modélisation (analyse numérique des équations aux dérivées partielles, calcul scientifique), au traitement de signal, à la modélisation aléatoire et stochastique.
 

PRESENTATION DE L'ANNÉE 2 DE LA SPÉCIALITÉ

Responsable de la formation : A. Farina

L'année 1 (niveau maitrise) est commune avec l'autre spécialité de la mention mathématique du master (voir programme détaillé sur le site d'information de la faculté de mathématiques et d'informatique)

La Spécialité Analyse Appliquée et Modélisation de la Mention Mathématiques du Master est ouverte aux titulaires d'une maîtrise de mathématiques, d'une MIM ou d'un diplôme équivalent (première année de master). La durée des études est de un an. Il accepte néanmoins des étudiants salariés au titre de la formation continue (formation en deux ans).

L'équipe d'accueil du DEA est le LAMFA, Laboratoire Amiénois de Mathématiques Fondamentales et Appliquées, UMR 6140 du CNRS.

Cette formation à bac+5 est rattachée à la Faculté de Mathématiques et d'Informatique de l'Université de Picardie Jules Verne.

Dossier de préinscription:

Analyse Appliquée et Modélisation  Isabelle Wallet (Secrétariat)  Université de Picardie Jules Verne  Faculté de Mathématiques et Informatique  33 rue Saint-Leu, 80039 Amiens  sec-lamfa@u-picardie.fr

Les dossiers de préinscription sont à envoyer avant le 7 juillet 2004.

MODALITÉS DE CONTRÔLE DES CONNAISSANCES

UNITES D'ENSEIGNEMENT (PREMIER SEMESTRE)

MAAM1-S3  Modélisation: Equations aux dérivées partielles et calcul scientifique                              A. Farina, V. Martin

MAAM2-S3   Théorie de signal/application au traitement d'image                                                        O. Goubet, S. Durand, D. Kachi

MAAM3-S3   Modélisation aléatoire et applications aux mathématiques financières                            AH. Fan, JP Félix (PriceWaterhouseCooper)

Chacune de ces  UE double sera validée pour 10 ECTS.

STAGE

• Analyse de Fourier: rappels sur la transformation de Fourier, formule de Poisson.
• Principe d'incertitude, analyse temps-fréquence et temps-échelle des signaux déterministes.
• Transformations de Gabor, de Wigner et en ondelettes.
• Bases d'ondelettes et analyse multirésolution: construction et exemples, filtres miroirs en quadrature, algorithme pyramidal de Mallat pour l'implémentation.

• I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS 61, SIAM, 1992.
• S. Mallat, A wavelet Tour in Signal processing, Second Edition, Academic Press, 1999.
• E. Hernandez et G. Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, 1996.
• Y. Meyer, Ondelettes et algorithmes concurrents, Hermann, 1992.
• A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw Hill, 1977.

• Modélisation des signaux bidimensionnels : Représentation déterministe et stochastique par modèle autorégressif ou modèle d'états. Estimation spectrale bidimensionnelle: méthodes non paramétriques (périodigramme, corrélogramme), méthodes paramétriques (AR 2D, modélisation en treillis 2D), exemples.
• Estimation des paramètres d'un modèle autorégressif (AR 2D): Algorithme de Schur-Levinson 2D, algorithme de Burg. Analyse du mouvement dans des séquences de signaux bidimensionnels et introduction aux modèles autorégressifs non stationnaires.
• Application à la compression prédictive de séquences d'images: Entropie, techniques de compression avec et sans perte, Exemples de la restauration des images médicales et aériennes.
• Compression de données par des méthodes d'ondelettes.
• Travaux dirigés : Initiation à Matlab + Travaux dirigés sur machine.

• Anil K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall , Englewood Cliffs(1989).
• H. Youlal, M. Najim, Modélisation Paramétrique en Traitement d'Images, Edition Masson (1994)
• Murat Kunt, Théorie et traitement des signaux Volume VI, Série Traité d'Electricité, Ecole polytechnique Fédérale de Lausane (1995).
• M.V. Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis: from Theory to Software, AK Peters, 1994.

Beaucoup de phénomènes naturels ne sont pas prévisibles. Citons par exemple les oscillations de l'altitude d'un avion autour de sa valeur moyenne, les fluctuations boursières, le mouvement des molécules d'un gaz ou la dynamique d'une population de bactéries. Ce cours vise a fournir les bases d'un outil mathématique pour la modélisation aléatoire et la compréhension de tels phénomènes : Le calcul stochastique et les processus du même nom.

Plan possible du cours :

• Généralités sur les processus stochastiques. Lois de processus. Théorème de Kolmogorov.
• Mouvement brownien linéaire et propriétés principales.
• Martingales à temps continu. Théorème d'arrêt. Régularité des trajectoires.
• Intégrale stochastique. Formule d'Ito. Théorème de Girsanov.
• Équations différentielles stochastiques d'Ito. Critères d'existence et d'unicité.

• N. Bouleau, Processus stochastiques et applications, Hermann 1988.
• K.L. Chung et R.J. Williams, Introduction to stochastic integration, Birkhauser 1990.
• I. Karatzas et S. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, Springer 1987.
• A.D. Wentzell, A course in the theory of stochastic processes, McGraw-Hill, 1981.

Ce cours est une introduction aux méthodes d'approximation de quelques équations aux dérivées partielles. On s'intéressera ici plus particulièrement a l'aspect théorique. L'implémentation de ces méthodes sera abordée dans le cours Calcul Scientifique.

Plan possible du cours :

• Équations aux dérivées partielles: origine des problèmes, modélisation. Classification de Hadamard, propriétés qualitatives.
• Équations de Laplace et de Stokes. Approximation par éléments finis conformes: aspect théorique, formulation mixte. Méthode d'Uzawa. Discrétisation par différences finies.
• Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires. Conditionnement.
• Optimisation: Méthodes de gradient, de gradient conjugué, algorithme GMRES.
• Notions sur les problèmes non-linéaires et calcul des variations.
• Approximation de problèmes d'évolution par différences finies en temps: Équations de convection-diffusion, équations de la chaleur et des ondes.

• F.Brezzi et M. Fortin, mixed and hybrid finite elements methods, Springer 1991.
• P. Ciarlet, Analyse numérique matricielle et optimisation, Masson 1983.
• V. Girault et P.A. Raviart, finite elements methods for Navier-Stokes equations, Springer 1986.
• B. Lucquin et O. Pironneau, Introduction au calcul scientifique, Masson.

Plan possible du cours :

• Aspects du langage C
• Introduction au C++
• Mise en oeuvre par Différences Finies et Eléments Finis

Bibliographie :

• B. Lucquin, O. Pironneau, Introduction au calcul scientifique, Masson, 1996.
• S.P. Harbison, G.L. Steele Jr., C: A reference manual, Prentice-Hall, 1987.
• Bjarne Stroustrup, Le langage C++, Int. Thomson Publishing France, 1996.
• J.L. Barton, L.R. Nackmann, Scientific and Engineering C++: An introduction with advanced techniques and examples, Addison-Wesley, 1994.

Ce cours est un cours de base sur les techniques standard de l'optimisation. Nous proposerons en outre des applications concrètes des algorithmes introduits pour des problématiques industrielles ou à des domaines connexes aux mathématiques: assemblage en aéronautique, cristaux liquides, mécanique des fluides...

Plan possible du cours :

             1°) Introduction et rappels
              variables continues, discrètes, booléennes ;
               notion de complexité, temps de calcul, nombre d'opérations élémentaires.

2°) Minimisation sans contrainte
balayage et marches aléatoires dans un graphe
cas convexe : algorithmes de gradient
cas non convexe : algorithmes probabilistes ( W-Sat, algorithmes génétiques, recuit simulé, ...)

3°) Minimisation avec contraintes
origine des problèmes;
multiplicateurs de Lagrange, dualité, méthodes de projection;
méthodes probabilistes.

              Optimisation, méthodes numériques, A. Auslender, Masson.

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, P.G. Ciarlet, Masson.

Introduction à l'optimisation, J.C. Culioli, Ellipses.

Analyse convexe et problèmes variationnels, I. Ekeland, R. Temam, Dunod.
 

En raison de ses applications industrielles, l'écoulement des fluides a fait l'objet de très nombreuses études théoriques et expérimentales. L'objectif de ce cours est d'introduire quelques notions analytiques utilisées dans la résolution de problèmes classiques de la mécanique des fluides. On exposera en premier lieu pour cela : les divers aspects qualitatifs des propriétés des fluides et de leur comportement, les équations fondamentales du mouvement pour écoulements permanents et transitoires et la notion de couche limite.  Un stage est prévu au laboratoire LPCM.

Plan possible du cours :

            Introduction et principe fondamentaux de la mécanique des fluides

3.Equations fondamentales de la dynamique des fluides
 Analyse dimensionnelle
1.
 Introduction à la théorie de la couche limite
2.
Couche limite laminaire en écoulement incompressible
3.
Instabilités - Ecoulements turbulents

               Mécanique des fluides,  S. Candel (Dunod)

Mécanique des fluides, Landau et Lifchitz (Ed. de Moscou)
Hydrodynamique physique,  E. Guyon, J.P. Hulin et L. Petit, Inter Edition / CNRS
On a differential equation of boundary layer theory. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A, 3253, 101--136 Differential Equations and Dynamical Systems ,Texts in Appl. Maths 7, third edition 2002 Springer

Ce cours a pour but d'acquérir les outils mathématiques néssaires à la compréhension et à l'utilisation des principaux modèles rencontrés en sciences du vivant et en gestion intégrée des ressources et milieux naturels.

Plan possible du cours

1) Modélisation aléatoire de dynamique des populations

2) Modélisation de dynamique des populations dans le cas non coopératif

On étudie dans ce cours une classe d'équations paraboliques dégénérées ( les équations de type milieux poreux) qui décrivent de nombreux phénomènes en hydrologie, en physique des plasmas,?
Ces équations ne sont pas uniquement une généralisation  de l'équation de la chaleur, mais les propriétés des solutions que nous allons étudier sont non standards et parfois exotiques.
Par  exemple: l'existence des frontières libres qui  jouent un rôle  central dans ce cours.